何謂充分與必要條件?

 

 

在日常生活中我們會經歷許多的事件,而且,我們會認為某一些事件之間有著關連。例如,昨天我感冒了還載著友人A開著車一起去宜蘭吃飯,今天早上友人A也開始出現了感冒的症狀,從這個情況來說,我們自然會認為很有可能是我把感冒傳染給他()的。也就是說,「我感冒」和「他()感冒」這兩件事情之間可能會有「因果關連」,那麼,我們就把兩個事件用一種關係連結起來了。

    在日常生活中,我們經常使用許多各式各樣的「關係」來連結兩個不同的事件,這樣的連結有時很草率,有時也根本是錯誤的,但是,它仍舊構成我們面對這個世界以及面對人群互動的主要依據,而且形成信念與知識。

    在各種事件的關係中,有兩個很重要的關係稱之為「充分條件」與「必要條件」。當我們說,「AB的必要條件」,意義是說,如果沒有A事件的發生就一定不會有B事件的發生,也就是說,對B事件的發生來說A是必要的。例如,針對地球上的生物來說,「空氣是生物生存的必要條件」,在這句話中有兩個事件,一是「有空氣的存在」,另一是「生物可以生存」,這兩個事件的關係是,「如果沒有空氣則生物無法生存」。以邏輯式來表達就是:

 

A à B   (A:有空氣的存在B:生物可以生存)

 

然而,當我們說,「AB的充分條件」,意義是說,如果有A事件的發生則B事件一定會發生,也就是說,A事件的發生是充分足夠包含了或是導致了B事件的發生。例如,有一天我們看到友人B非常開心,後來聽說友人B考試拿了滿分、中了樂透頭彩、夢中情人跟他()告白、而且還得到了諾貝爾獎。這時,我們可能會說,任何一個理由都足以讓他()開心了,也就是說,剛剛舉出的那幾個讓他()快樂的事件都是使他()快樂這個事件發生的充分條件。以邏輯式表達則是:

 

A à B   (A:考試拿滿分(或其它任何一個) B:覺得很快樂)

 

從上面這種邏輯推理的角度來看(但不一定符合日常用法),或許已經有人可以看出來在充分以及必要條件中彼此也有一個邏輯關係,「當AB的必要條件時,B就會是A的充分條件,反之亦然」。而且,兩個條件合起來可以稱為「充分且必要條件」,而且當AB的充分且必要條件時,B也必然是A的充分且必要條件,其邏輯式可以用雙箭頭來表達。

      然而,這種關係不一定只是一對的,也可能是一對多或是多對一,例如,我們會說,燃燒的必要條件有三個,可燃物、助燃物、溫度達到燃點。而這三必要條件合起來又形成了燃燒的充分條件,邏輯式的表達可以寫成如下:

    必要條件:(P àS) & (QàS) & (RàS)

       充分條件:(P & Q & R) à S  

(S:燃燒現象。 P, Q, R 各代表上述三個燃燒的必要條件的存在。)

 

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